Asal sayılar, yüzyıllardır matematikçilerin hayal gücünü zorlayan ve onları bulmak için yeni yöntemler arayışına iten gizemli sayılar olmuştur. Birden büyük, yalnızca 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen tam sayılardır. En küçük üç asal sayı 2, 3 ve 5'tir. Küçük sayıların asal olup olmadığını bulmak nispeten kolay olsa da, sayılar büyüdükçe bu görev hızla zorlaşır.
Örneğin, bilinen en büyük asal sayı 2136279841 − 1'dir ve tam 41.024.320 basamaklıdır. Bu sayı devasa görünse de, sonsuz sayıda tam sayı olduğu düşünüldüğünde, daha büyük asal sayılarla karşılaştırıldığında aslında küçüktür.
Matematikçiler sadece sayıları tek tek çarpanlarına ayırarak asal olup olmadıklarını belirlemekten daha fazlasını yapmak istiyorlar. Virginia Üniversitesi'nden bir matematikçi, asal sayıların sonsuz sayıda olmasına rağmen, içlerinde herhangi bir örüntü bulmanın çok zor olduğunu belirtiyor. Temel hedeflerden biri, asal sayıların diğer sayılar arasındaki dağılımını anlamaktır.
Yakın zamanda, üç matematikçi – Ken Ono, William Craig ve Jan-Willem van Ittersum – asal sayıları bulmak için tamamen yeni bir yaklaşım belirlediler. Kendileri, asal sayı kümesini tam olarak belirlemek için sonsuz sayıda yeni kriter tanımladıklarını ve bunların 'çarpanlarına ayıramazsan asaldır' tanımından çok farklı olduğunu ifade ediyorlar. Ekibin çalışması, fizik bilimleri alanında bilimsel mükemmelliği ve özgünlüğü takdir eden bir ödüle aday gösterildi. Bu buluş bir anlamda, sayıların asal olması için sonsuz sayıda yeni tanım sunuyor.
Ekibin stratejisinin kalbinde 'tam sayı bölüşümleri' (integer partitions) adı verilen bir kavram yatıyor. Bölüşüm teorisi çok eski olup, 18. yüzyılda yaşamış Leonhard Euler'e kadar uzanmaktadır. Bölüşümler ilk bakışta çocuk oyuncağı gibi görünebilir: 'Sayıları toplayarak başka sayılara ulaşmanın kaç yolu vardır?' Örneğin, 5 sayısı yedi farklı şekilde bölüşülebilir: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1.
Ancak bu kavram, asalları tespit etmek için yeni yolların kilidini açan güçlü bir anahtar haline geldi. Köln Üniversitesi'nden bir matematikçi, böyle klasik bir kombinatoryal nesnenin (bölüşüm fonksiyonu) asalları bu yeni yolla tespit etmek için kullanılabilmesinin dikkat çekici olduğunu söylüyor. Bu yaklaşım fikrinin, ekibin üyelerinden birinin eski bir öğrencisinden geldiği belirtiliyor.
Matematikçiler, asal sayıların, bölüşüm fonksiyonlarındaki belirli bir tür sonsuz sayıdaki polinom denkleminin çözümleri olduğunu kanıtladılar. Üçüncü yüzyıl matematikçisi Diophantus'un adını taşıyan ve ondan çok daha önce de çalışılmış olan Diophantine denklemleri, tam sayı veya rasyonel (kesir olarak yazılabilen) çözümleri olabilen ifadelerdir. Başka bir deyişle, buluş, 'tam sayı bölüşümlerinin asalları sonsuz sayıda doğal yolla tespit ettiğini' gösteriyor.
Pennsylvania Eyalet Üniversitesi'nden bir matematikçi bu buluşu 'yepyeni' ve 'beklenmedik bir şey' olarak nitelendiriyor ve nereye varacağını tahmin etmenin zor olduğunu ekliyor.
Bu keşif, asal sayıların dağılımını araştırmanın ötesine geçiyor. Araştırmacılar, bu yöntemle tüm asal sayıları tam olarak belirlediklerini söylüyorlar. Bu yöntemde, 2 veya daha büyük bir tam sayıyı belirli denklemlere yerleştirebilirsiniz ve eğer denklemler doğruysa, o tam sayı asaldır. Bu tür denklemlerden biri şöyledir: (3n³ − 13n² + 18n − 8)M₁(n) + (12n² − 120n + 212)M₂(n) − 960M₃(n) = 0, burada M₁(n), M₂(n) ve M₃(n) iyi bilinen bölüşüm fonksiyonlarıdır. Daha genel olarak, belirli bir tür bölüşüm fonksiyonu için 'sabit katsayılı sonsuz sayıda asal tespit edici denklem olduğu' kanıtlandı. Daha basit bir ifadeyle, 'çalışmamız neredeyse asal için sonsuz sayıda yeni tanım veriyor' şeklinde yorumlanıyor ve bunun 'akıllara durgunluk veren' bir durum olduğu belirtiliyor.
Ekibin bulguları birçok yeni keşfe yol açabilir. Kombinatoriğin (saymanın matematiği) bu klasik konusundaki bu bağlantılar, matematiğin alt alanları arasında yeni düşünceleri teşvik edebilir.
Matematikçiler bu araştırmayı geliştirmenin bazı potansiyel yollarını öneriyor. Örneğin, bölüşüm fonksiyonları kullanılarak başka ne tür matematiksel yapıların bulunabileceği veya ana sonucun farklı sayı türlerini incelemek için nasıl genişletilebileceği araştırılabilir. 'Ana sonucun bileşik sayılar veya aritmetik fonksiyonların değerleri gibi diğer dizilere genellemeleri var mı?' gibi sorular akla geliyor.
Asal sayılar hakkında hala cevaplanmamış pek çok açık soru bulunmaktadır. İki örnek, İkiz Asal Varsayımı ve Goldbach Sanısı'dır. İkiz Asal Varsayımı, aralarında 2 fark olan sonsuz sayıda ikiz asal sayı (örneğin 5 ve 7, 11 ve 13) olduğunu belirtir. Goldbach Sanısı ise, '2'den büyük her çift sayının en az bir yolla iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini' söyler. Ancak bu varsayımların hiçbiri henüz kanıtlanamamıştır.
Bu tür problemler, neredeyse sayı teorisi tarihi boyunca nesillerdir matematikçileri ve sayı teorisyenlerini şaşırtmıştır. Ekibin son buluşu bu problemleri çözmese de, matematikçilerin asal sayıların gizemli doğasını daha iyi anlamak için sınırları nasıl zorladığının derin bir örneğidir.
