Tarihin en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen David Hilbert, 1900 yılında Paris'teki Sorbonne Üniversitesi'nde düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde, gelecek yüzyılın araştırma hedeflerini belirleyen 10 önemli çözülmemiş problemi tanıttı. Daha sonra bu listeyi 23'e çıkardı. Hilbert'in bu problemleri, son 125 yılda matematik düşüncesi üzerinde devasa bir etkiye sahip oldu.
Hilbert'in altıncı problemi, fizik teorilerinin temel matematiksel varsayımlarını, yani 'aksiyomlarını' belirlemeyi amaçlıyordu. Bu geniş kapsamlı bir hedef olsa da, Hilbert bazı spesifik alt hedefler de belirtmişti. Araştırmacılar o zamandan beri bu vizyonu somut adımlara dönüştürdü.
Mart ayında Chicago Üniversitesi'nden Yu Deng ve Michigan Üniversitesi'nden Zaher Hani ile Xiao Ma, ön baskı sunucusunda yayımladıkları yeni bir makalede, bu hedeflerden birini çözdüklerini iddia ettiler. Eğer çalışmaları incelemelerden geçerse, bu gelişme fiziğin matematiksel temellere oturtulmasında önemli bir adım olacak ve fiziğin diğer alanlarında benzer çığır açan keşiflerin önünü açabilir.
Araştırmacılar, akışkanların hareketini açıklayan üç fiziksel teoriyi birleştirmeyi başardıklarını belirtiyor. Bu teoriler, uçak tasarımından hava tahminlerine kadar geniş bir mühendislik yelpazesini yönetiyor, ancak şimdiye kadar kesin olarak kanıtlanmamış varsayımlara dayanıyordu. Bu çığır açan gelişme, teorilerin kendisini değiştirmeyecek, ancak onları matematiksel olarak gerekçelendirecek ve denklemlerin beklediğimiz gibi çalıştığına olan güvenimizi artıracaktır.
Akışkanları incelemenin üç farklı seviyesi bulunur. Mikroskobik seviyede, akışkanlar parçacıklardan (çarpışan küçük bilardo topları gibi) oluşur ve bu parçacıkların hareketini tanımlamak için Newton'un hareket yasaları kullanılır.
Ancak çok sayıda parçacığın toplu davranışını ele aldığınızda, yani mezoskopik seviyede, her birini ayrı ayrı modellemek pratik değildir. 1872'de Avusturyalı teorik fizikçi Ludwig Boltzmann, Boltzmann denklemi olarak bilinen denklemi geliştirerek bu konuya değindi. Bu denklem, her parçacığın davranışını takip etmek yerine, 'tipik' bir parçacığın 'olası' davranışını dikkate alır. Bu istatistiksel bakış açısı, düşük seviyedeki detayları göz ardı ederek daha üst seviye trendlere odaklanır. Denklem, akışkandaki momentum ve termal iletkenlik gibi niceliklerin nasıl evrildiğini hesaplamaya olanak tanır.
Daha da uzaklaştığınızda, kendinizi makroskobik dünyada bulursunuz. Burada akışkanları ayrı parçacıklar topluluğu olarak değil, tek bir sürekli madde olarak görürüz. Bu analiz seviyesinde, Euler ve Navier-Stokes denklemleri gibi farklı bir dizi denklem, akışkanların nasıl hareket ettiğini ve fiziksel özelliklerinin nasıl birbiriyle ilişkili olduğunu parçacıklara başvurmadan doğru bir şekilde tanımlar.
Bu üç analiz seviyesi, aynı temel gerçekliği (akışkanların nasıl aktığını) tanımlar. Prensip olarak, her teori hiyerarşide kendisinden bir altındaki teori üzerine kurulmalıdır: makroskobik seviyedeki Euler ve Navier-Stokes denklemleri, mezoskopik seviyedeki Boltzmann denkleminden mantıksal olarak çıkmalı, bu da mikroskobik seviyedeki Newton'un hareket yasalarından mantıksal olarak türetilmelidir. İşte Hilbert'in altıncı probleminde istediği 'aksiyomatizasyon' tam olarak buydu. Tam fizik teorilerinin, fenomeni mikroskobik seviyeden makroskobik seviyeye kadar açıklayan matematiksel kurallara uymasını bekleriz. Eğer bilim insanları bu boşluğu kapatamazsa, mevcut teorilerimizde bir yanlış anlaşılma olabileceğini düşündürebilir.
Akışkanlar dinamiğindeki bu üç bakış açısını birleştirmek, alan için zorlu bir meydan okuma olmuştur, ancak Deng, Hani ve Ma bunu başarmış olabilir. Başarıları, on yıllarca süren kademeli ilerlemeye dayanıyor. Ancak önceki gelişmelerin her biri belirli kısıtlamalara sahipti; örneğin, türetmeler sadece kısa zaman aralıklarında, boşlukta veya diğer basitleştirici koşullar altında işe yarıyordu.
Yeni kanıt temelde üç adımdan oluşuyor: makroskobik teoriyi mezoskopik olandan türetmek; mezoskopik teoriyi mikroskobik olandan türetmek; ve sonra bunları mikroskobik yasalardan makroskobik yasalara tek bir türetmede bir araya getirmek.
İlk adım daha önce anlaşılmıştı ve hatta Hilbert'in kendisi de buna katkıda bulunmuştu. Buna karşılık, mezoskopik teoriyi mikroskobik olandan türetmek matematiksel olarak çok daha zorluydu. Unutmayın, mezoskopik ortam çok sayıda parçacığın toplu davranışıyla ilgilidir. Bu nedenle Deng, Hani ve Ma, çarpışan parçacıkların sayısı sonsuza yaklaşırken ve boyutları sıfıra küçülürken Newton denklemlerine ne olduğunu incelediler. Newton denklemlerini bu uç noktalara taşıdığınızda, sistemin istatistiksel davranışının – yani akışkandaki 'tipik' bir parçacığın olası davranışının – Boltzmann denkleminin çözümüne yakınsadığını kanıtladılar. Bu adım, mezoskopik matematiği mikroskobik matematiğin uç davranışından türeterek bir köprü oluşturur.
Bu adımdaki en büyük engel, denklemlerin modellediği zaman dilimiyle ilgiliydi. Boltzmann denkleminin Newton yasalarından çok kısa zaman aralıklarında nasıl türetileceği zaten biliniyordu, ancak bu Hilbert'in programı için yeterli değildi, çünkü gerçek dünyadaki akışkanlar herhangi bir zaman diliminde akabilir. Daha uzun zaman aralıkları daha fazla karmaşıklık getirir: daha fazla çarpışma meydana gelir ve bir parçacığın tüm geçmişi, mevcut davranışını etkileyebilir. Yazarlar, bir parçacığın geçmişinin bugününü ne kadar etkilediğini dikkatlice hesaplayarak ve önceki çarpışmaların kümülatif etkilerinin küçük kaldığını savunmak için yeni matematiksel teknikler kullanarak bu engeli aştılar.
Uzun zaman aralığı bulgularını, Euler ve Navier-Stokes denklemlerini Boltzmann denkleminden türetme üzerine yapılan önceki çalışmalarla birleştirmek, akışkanlar dinamiğinin üç teorisini birleştiriyor. Bu bulgu, bağlama göre en kullanışlı olan farklı akışkan perspektiflerini almayı haklı çıkarıyor, çünkü matematiksel olarak tek bir gerçekliği tanımlayan nihai bir teoriye yakınsıyorlar. Kanıtın doğru olduğu varsayılırsa, bu Hilbert'in programında yeni bir çığır açıyor. Ancak böylesine taze yaklaşımlarla, Hilbert'in meydan okumalarının barajının yıkılacağını ve daha fazla fiziğin akıp gideceğini umabiliriz.
